Da equação dos osciladores harmónicos à exponencial complexa (Versão II)

Esta dedução é uma modificação da anterior numa tentativa de a simplificar e a tornar mais acessível ao máximo de pessoas.

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Sejam $A>0$, $\omega>0$ e $\varphi \in [0,2\pi[ $. Um oscilador harmónico é um sistema constituído por um ponto que se desloca numa recta numérica em determinado intervalo de tempo $I$, de tal forma que a respectiva abcissa é dada por uma lei da forma \[x(t)=A \cos (\omega t+ \varphi)\] para cada $t\in I$
Derivando em ordem a $t$, temos \[ \dot x=-A\omega \sen (\omega t + \varphi) \] e consequentemente \[ \ddot x=-A\omega^2 \cos (\omega t + \varphi)=-\omega^2 x \] Portanto, $x(t)= A \cos (\omega t+ \varphi)$ é uma solução da equação diferencial \[ \ddot x=-\omega^2 x \] Na verdade, $x(t)= \mathcal{A} \cos (\omega t+ \phi)$ com $\mathcal{A}>0$ e $\phi \in [0,2\pi[ $ arbitrários, é uma expressão geral para todas as soluções da equação \[ \ddot x=-\omega^2 x \]

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Outras formas possíveis para a solução geral são:
\[x(t)= \mathcal{A} \sen (\omega t+ \phi^*)\] com $\mathcal{A}>0$ e $\phi^* \in [0,2\pi[ $ ou \[x(t)= C_1\cos (\omega t)+ C_2\sen (\omega t)\] com $C_1,C_2\in\R$
Note-se que \begin{eqnarray*} {C_1\cos (\omega t)+ C_2\sen (\omega t)}&{=}&{\sqrt{C_1^2+C_2^2}\left(\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\cos (\omega t)+ \frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\sen (\omega t)\right)}\\ {}&{=}&{\mathcal{A} \cos (\omega t+ \phi)}\\ {}&{=}&{\mathcal{A} \sen (\omega t+ \phi^*)} \end{eqnarray*} Fazendo $\mathcal{A}=\sqrt{C_1^2+C_2^2}$ e

\[\cos \phi=\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\]	;	\[\sen \phi=-\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\]
\[\sen \phi^*=\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\]	;	\[\cos \phi^*=\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\]

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Considere-se agora a função \[x(t)=e^{at}\], com $a \in \R \backslash \{0\} $
Derivando em ordem a $t$ , temos \[ \dot x=ae^{at} \] e consequentemente \[ \ddot x=a^2e^{at}=a^2 x \] Portanto, $x(t)=e^{at}$ é uma solução da equação diferencial \[ \ddot x=a^2 x \] Compare-se agora as equações \[ \ddot x=-\omega^2 x \] e \[ \ddot x=a^2 x \] E observe-se que estas equações são a mesma se tivermos em conta que $a=i\omega$ onde $i$ é a unidade imaginária, (portanto $i^2=-1$).
Assim sendo, devem existir um $\mathcal{A}$ e um $\phi$ que tornam verdadeira a igualdade \[\label{eqII1}\tag{1} e^{i\omega t}=\mathcal{A} \cos (\omega t+ \phi) \] para todo o $t\in \R$.
Em particular, se $t=0$ temos \[\label{eqII2}\tag{2} 1=\mathcal{A} \cos (\phi) \] Por outro lado, se substituirmos $t$ por $(-t)$ em $(\ref{eqII1})$ temos \[\label{eqII3}\tag{3} e^{-i\omega t}=\mathcal{A} \cos (-\omega t+ \phi) \] para todo o $t\in \R$.
Somando termo a termo as equações ($\ref{eqII1}$) e ($\ref{eqII3}$), e obtemos \[\label{eqII4}\tag{4}{ e^{i\omega t}+ e^{-i\omega t} }= \mathcal{A}\left(\cos (\omega t+ \phi)+\cos (-\omega t+ \phi)\right)\] No meu tempo, no secundário, dava-se a fórmula \[ \cos (\alpha)+\cos(\beta)=2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\]

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Façamos $\alpha=X+Y$ e $\beta=X-Y$.
Somando estas duas igualdades conclui-se que $X=\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}$ e se em vez de somarmos, subtrairmos, vemos que $Y=\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Assim sendo, temos que \begin{eqnarray*} {\cos (\alpha)+\cos(\beta)}&{=}&{\cos(X+Y)+\cos(X-Y)}\\ {}&{=}&{\cos(X)\cos(Y)-\sen(X)\sen(Y)+\cos(X)\cos(Y)+\sen(X)\sen(Y)}\\ {}&{=}&{2\cos(X)\cos(Y)}\\ {}&{=}&{2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}\\ \end{eqnarray*}

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Utilizando esta fórmula, em (\ref{eqII4}) obtemos \[\label{eqII5}\tag{5}{ e^{i\omega t}+ e^{-i\omega t} }= 2\mathcal{A}\left(\cos ( \phi)\cos (\omega t)\right)\] mas atendendo a $(\ref{eqII2})$ \[\label{eqII6}\tag{6}{ e^{i\omega t}+ e^{-i\omega t} }= 2\cos \left(\omega t\right)\] que é equivalente a \[\label{eqIICosseno}\tag{7}\frac{ e^{i\omega t}+ e^{-i\omega t} }{2} = \cos(\omega t)\] Derivando agora cada membro da equação em ordem a $t$ temos \[i\omega\times\frac{ e^{i\omega t}- e^{-i\omega t} }{2} = -\omega \sen(\omega t)\] que é equivalente a \[\label{eqIISeno}\tag{8}\frac{ e^{i\omega t}- e^{-i\omega t} }{2} = i\sen(\omega t)\] Somando termo a termo as equações (\ref{eqIICosseno}) e (\ref{eqIISeno}) obtemos \[ e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sen(\omega t)\] Finalmente, fazendo $\theta=\omega t$ obtemos
\[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sen\theta\]