\( \newcommand{\combin}[2]{{}^{#1}C_{#2} } \newcommand{\cmod}[3]{#1 \equiv #2\left(\bmod {}{#3}\right)} \newcommand{\mdc}[2]{\left( {#1},{#2}\right)} \newcommand{\mmc}[2]{\left[ {#1},{#2}\right]} \newcommand{\cis}{\mathop{\rm cis}} \newcommand{\sen}{\mathop{\rm sen}} \newcommand{\senq}{\mathop{\rm sen^2}} \newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg}} \newcommand{\tgq}{\mathop{\rm tg^2}} \newcommand{\arctg}{\mathop{\rm arctg}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\tr}[1]{ \textnormal{Tr}\left({#1}\right)} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\Mod}[1]{\ (\mathrm{mod}\ #1)} \)

10/07/2017

Um sistema com somas de potências de desconhecidos

Problema: Se \begin{eqnarray*} {a+b+c}&{=}&{2}\\ {a^2+b^2+c^2}&{=}&{6}\\ {a^3+b^3+c^3}&{=}&{8} \end{eqnarray*} então $a^4+b^4+c^4=?$
(Nota do autor do blog: há várias resoluções possíveis para isto... como tal, peço uma que explicite todos os possíveis valores para $a$, $b$ e $c$, e só pelo gozo... não resolva o sistema por substituição!)

O problema original foi-me sugerido por Barbara Fernandes via facebook e inicialmente foi proposto no grupo do facebook Math: An Integral Part of Happiness, caso contrário, eu não tocaria nele.

05/07/2017

Um inteiro às fatias


Problema: Seja $a_n=2-\displaystyle\frac{1}{n^2+\sqrt{n^4+\frac{1}{4}}}$, $n=1,2,...$ .
Mostre que $\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_{119}}$ é um inteiro.

Problema proposto por Américo Tavares no facebook, no dia 4 de Julho de 2017.

12/04/2017

Uma recta giratória (superfície regrada)


Problema: Identificar o conjunto de todos os pontos que se obtêm rodando a recta $z=mx+b$ com $m\neq 0$ contida no plano $y=R$ em torno do eixo $Oz$, para ângulos $\theta \in \left[0;2\pi\right[ $.

27/03/2017

Um integral engraçado.

Já vi outras resoluções para isto. Vou apresentar a minha.
Problema: \[\int_{0}^{\pi} \sin x \ln {\cot \left( \frac{x}{2} \right)} dx \]
Possível resolução:
Vou começar por reescrever o integral na forma \[\int_{0}^{\pi} \sin x \ln \sqrt{ \frac{1+\cos (x)}{1-\cos(x)} } dx \] Depois faço a substituição $t=x+\frac{\pi}{2}$ obtendo \[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \ln \sqrt{ \frac{1+\sin (t)}{1-\sin (t)} } dt.\] Como a função integranda é ímpar, então, no intervalo $\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[$ o integral vale zero.


PS:
Apresento abaixo o integral inicial, calculado numericamente numa CASIO CG20 (utilizando apenas a funções da calculadora, sem recorrer a programação...)

14/03/2017

O resto de uma divisão...

Hoje vou apresentar uma resolução feita num intervalo, esboçada num recibo de café...com mais algum detalhe que o recibo.

Problema: Qual é o resto da divisão de $\underbrace {2323 ... 232323}_{\text{$4018$ dígitos}}$   por $999$?